Drude 2077

La red cristalina de un metal es una disposición periódica de iones positivos. En el modelo de Drude esos iones están fijos y los electrones de valencia se mueven entre ellos. Paul Drude publicó el modelo en 1900, solo tres años después de que Thomson identificara el electrón.

Los electrones de conducción no están ligados a un átomo concreto: forman un gas de electrones libres. El modelo de Drude supone además que no interaccionan entre sí ni con los iones, salvo en las colisiones. Es una idealización clásica, útil pero simplificada.

Al aplicar un campo eléctrico $\vec{E}$, cada electrón siente una fuerza $-e\vec{E}$ y se acelera en sentido contrario al campo. Sin campo, los electrones se mueven al azar y no hay corriente neta.

Las colisiones son el ingrediente clave del modelo de Drude: ocurren de forma instantánea. Tras cada choque el electrón sale en una dirección aleatoria, lo que provoca la resistencia eléctrica del material.

El movimiento ordenado resultante es la velocidad de deriva. Es muy pequeña, de una fracción de milímetro por segundo en un cable de cobre con corrientes domésticas, mucho menor que la velocidad térmica de los electrones. Aun así, la corriente se establece casi al instante, porque el campo eléctrico se propaga por el circuito a una velocidad cercana a la de la luz y pone en marcha a la vez a todos los electrones del cable.

Los electrones deslocalizados no pertenecen a un átomo concreto, sino a todo el metal. Es el rasgo que distingue a los metales de los materiales en los que los electrones permanecen ligados.

El modelo de Drude reproduce la ley de Ohm en su forma microscópica. También explica que los buenos conductores del calor suelen serlo de la electricidad (ley de Wiedemann-Franz), aunque en parte por una cancelación de errores.

Drude trató a los electrones como un gas ideal clásico, con la teoría cinética de los gases. Eso lleva a predecir un calor específico electrónico grande, que no se observa en los experimentos, y es uno de los fallos más notables del modelo.

Edwin Hall observó en 1879 que, al aplicar un campo magnético perpendicular a una corriente, aparece una tensión transversal. Drude predice un coeficiente de Hall que permite estimar la densidad de portadores. En algunos metales el signo medido es positivo, algo que el modelo no puede explicar y que la teoría de bandas resuelve con la noción de huecos.

Hacia 1927 Arnold Sommerfeld sustituyó la estadística clásica de Maxwell-Boltzmann por la de Fermi-Dirac, que incorpora el principio de exclusión de Pauli. Con ello se corrigió el calor específico electrónico, aunque se mantuvo el resto del esquema de Drude.

En un cristal perfecto y a temperatura cero, las ondas electrónicas de la mecánica cuántica se propagan sin dispersión. La resistencia aparece por impurezas, defectos y vibraciones de la red (fonones), no porque los electrones choquen con cada ion como en la imagen de Drude.

El principio de exclusión de Pauli impide que dos electrones ocupen el mismo estado cuántico. En un metal los electrones llenan los estados desde la energía más baja hasta la energía de Fermi, y solo los cercanos a ese nivel pueden participar en la conducción.

En un sólido, los niveles de energía permitidos para los electrones se agrupan en bandas separadas por intervalos prohibidos (gaps). Esta estructura surge de resolver la ecuación de Schrödinger en un potencial periódico.

En el modelo sencillo de aislante de bandas, la banda de valencia está completamente llena y la siguiente, la de conducción, está vacía, con un gap grande entre ambas. Sin estados libres cercanos, un campo eléctrico moderado no puede acelerar a los electrones y no hay corriente.